Beweis der Riemannschen Vermutung
  Lösung
 

Die Lösung der Riemannschen Vermutung

 

1)      Die von Bernhard Riemann im Jahre 1859 aufgestellte Vermutung besagt, dass

mit

nur dann den Wert Null annehmen kann, wenn .

 

2)      Diese Aussage ist äquivalent zu der Folgenden:

mit = ,

= Anzahl der Primzahlen bis n

und mit O(x) = Landau-Notation.

Diese Äquivalenz wurde im Jahre 1901 von Helge von Koch auf Basis des Primzahlsatzes von Charles-Jean de la Vallée Poussin und Jacques Salomon Hadamard bewiesen.[1]

 

3)      Der Ausdruck aus 2) kann nun folgendermaßen umgeformt werden:

mit

 

4)      Demnach ist aber auch

und

 

5)      Um die Riemannsche Vermutung also widerlegen zu können – und um diesen Beweis der Falschheit der Vermutung soll es fortan gehen – müsste gelten:

mit

 

6)      Hierauf lässt sich die Regel von l´Hospital anwenden, welche besagt, dass

für

 

7)      In diesem Fall entspricht =

und =

 

8)      Beweist man nun die Unendlichkeit von

,

so kommt dies einer Widerlegung der Riemannschen Vermutung gleich.

 

9)      Folgende Umformungen werden nun möglich:

 

10)    Die einzige Unbekannte hierin ist . Bei der Bestimmung dieser Funktion stellt sich aber ein logisches Problem. Die erste Ableitung einer Funktion ist definiert als ihre Steigung an den einzelnen Stellen ihres Definitionsbereiches.

 aber ist eine Treppenfunktion, die für alle  (= Menge der Primzahlen) eine nicht definierte Steigung und somit Ableitung besäße und für alle anderen Argumente jedoch eine Nullsteigung hätte. Bewegt man sich aber von dieser praxisorientierten Definition der Ableitung weg und leitet man einen konkreten mathematischen Term, der für alle  genau  entspricht nach gültigen Differentiationsregeln ab, so erhält man eine Funktionsvorschrift für .

 

11)    muss also ermittelt werden.

Es gilt:

Dies soll im Folgenden bewiesen werden.

 

12.1) Alle Betrachtung des Sachverhalts beruht auf der mathematischen Unterscheidung von Primzahlen und Nichtprimzahlen.

 

12.2) Dies wird realisiert durch die Formel

welche für alle  immer ein Ergebnis (E) liefert, für das gilt

.

Für  gilt aber

.

Grund hierfür ist die Richtigkeit Wilsons Theorems.[2]

Einzige Ausnahme dieser Regel ist . Es handelt sich hierbei natürlich nur vermeintlich um eine Primzahl.

 

12.3) Das Ziel soll es nun sein, eine Gleichung zu finden, die 1 als Ergebnis der Eingabe einer Primzahl und 0 als Ergebnis der Eingabe einer Nichtprimzahl liefert.

Dies bewerkstelligt der Term

,

denn  ergibt für , also für , immer 0.

Jedoch ist  für , also im Falle lediglich eine Zahl im Intervall . Aber durch Bilden des Betrags und Ziehen der s-ten Wurzel für  werden die Ergebnismöglichkeiten erst auf positive Zahlen, später auf 1 reduziert.

 

12.4) Bildet man von diesem Term nun die Summe von x = 1 bis n, so erhält man, wenn man 1 abzieht (siehe Fehler der Formel aus 12.2)) , da stets 1 hinzuaddiert wird, wenn  und 0, wenn .

 

12.5) Es gilt also:

 

13)    Dann gilt aber auch:

Der Zusatz

ist für das Ergebnis nicht von Belang, da selbst

Dennoch muss er stehen bleiben, damit  eine ordnungsgemäß definierte Funktion ist. Dies wird sich in 15.1) zeigen.

 

14)    Man kann  nun auch als

schreiben.

Die Betragsstriche konnten vernachlässigt werden, denn laut Wilsons Theorem (siehe 12.2)) ist

()

Da  definitiv ungerade ist, ist es auch .

Setzt man nun x = p, so ist

Da  gerade ist, muss

aufgrund der Eigenschaften der Sinusfunktion einen positiven Wert besitzen, was die Betragstriche überflüssig macht.

 

15.1) Nun ist aber  zu bestimmen:

 

15.2) Den letzten Term der Gleichung abzuleiten wird wieder problematisch, denn

Es stellt sich also die Frage, wie man , oder allgemein  ableitet.

Da  keine reell definierte Funktion ist, muss auch ihre Ableitung eher theoretisch bestimmt werden.

Wir definieren aber:

Dieser Ausdruck ist nun zumindest positiv-reell definiert, da ein Start- und ein Stoppkriterium gegeben sind sowie eine genaue Schrittweite vorgegeben wurde.

Der Term lässt sich nun also ableiten.

für

Es gilt also:

 

15.3) Doch zurück zur Berechnung von :

 

15.4) Doch wie groß ist  für  nun?

Dies soll durch eine grobe Abschätzung (die in diesem Fall ausreicht) ermittelt werden. Hierzu ist aber eine Fallunterscheidung zwischen denjenigen , welche Primzahlen sind, und jenen, die das nicht sind.

 

Der letzte Schritt wird möglich durch:

Setzt man nun und auch in 16) , was durchaus legitim ist, so gilt

 

16)

 ist sogar größer als diese Terme, da die Anzahl der Primzahlen deutlich kleiner ist als die der Nichtprimzahlen.

 

17)    Setzt man dieses minimal abgeschätzte  in die die Gleichung aus 9) ein, so ergibt sich:

 

18)    Diese Aussage ist nach 5) als Anwendung der l´Hospitalschen Regel eine Widerlegung der Riemannschen Vermutung.

q. e. d.

04.07.2007


[1] siehe auch http://www.mi.uni-koeln.de/~bruinier/antritt.pdf und http://brosch-online.net/Interests/Riemann/Vermutung.pdf

[2] Siehe primes.utm.edu/notes/proofs/Wilsons.html

 
  Heute waren schon 1 Besucher (2 Hits) hier!  
 
=> Willst du auch eine kostenlose Homepage? Dann klicke hier! <=